Ricordo ancora il panico. Era il mio primo esame di algebra, e la professoressa, una donna con gli occhiali spessi e uno sguardo che poteva trapassare il tempo, scrisse alla lavagna una cosa che sembrava uno scarabocchio futuristico: $ax^2 + bx + c > 0$. Per me, significava solo una cosa: guai seri. Mi sembrava di essere finita in un labirinto senza uscita, e il delta negativo era la mia kryptonite.
Poi, durante una lezione disperata, un mio compagno, che sembrava aver dormito con il libro di testo sotto il cuscino, alzò la mano e disse: "Ma prof, se il delta è negativo, non ci sono soluzioni reali, giusto?". Quella frase mi salvò la vita. E mi fece capire che a volte, anche quando le cose sembrano impossibili, c'è una logica dietro, anche se all'inizio è nascosta. Oggi parliamo proprio di questo, delle disequazioni di secondo grado con delta negativo. Non temete, non vi lascerò soli in questo labirinto!
Allora, cos'è 'sto delta? Il nostro amico Δ (si legge "delta", facile no?) è quello che ci dice quante soluzioni ha la nostra equazione di secondo grado associata. Lo calcoliamo con la famosa formula: $\Delta = b^2 - 4ac$. Semplice, no?
Se il delta è positivo ($Δ > 0$), abbiamo due soluzioni distinte. Se è zero ($Δ = 0$), ne abbiamo una sola (doppia, per essere precisi). Ma cosa succede quando il delta è negativo ($Δ < 0$)?
Qui arriva il bello (o il brutto, a seconda dei vostri gusti matematici!). Quando il delta è negativo, significa che l'equazione di secondo grado associata non ha nessuna soluzione nel mondo reale. Niente numeri che potete mettere sulla vostra retta dei numeri. È un po' come cercare di trovare un unicorno a prova di proiettile: impossibile.
Ok, ma allora come si risolve la disequazione? Dobbiamo pensare alla parabola. Ricordate la funzione $y = ax^2 + bx + c$? Ecco, se il delta è negativo, quella parabola non tocca mai l'asse delle x. È sempre sopra o sempre sotto.
- Se il coefficiente a (quello davanti all'$x^2$) è positivo ($a > 0$), la parabola è "aperta verso l'alto". Dato che non tocca l'asse x, sarà sempre positiva. Sempre! Non importa quale numero metti al posto della x.
- Se il coefficiente a è negativo ($a < 0$), la parabola è "aperta verso il basso". E anche lei, non toccando l'asse x, sarà sempre negativa.
Quindi, tornando alla nostra disequazione ($ax^2 + bx + c > 0$ o $< 0$):
* Se $Δ < 0$ e $a > 0$, e la disequazione chiede di trovare dove la funzione è positiva ($> 0$), la soluzione è tutti i numeri reali. Sì, avete capito bene. Tutti! * Se $Δ < 0$ e $a < 0$, e la disequazione chiede di trovare dove la funzione è negativa ($< 0$), la soluzione è di nuovo tutti i numeri reali. * Negli altri casi (ad esempio, se $Δ < 0$ e $a > 0$ ma la disequazione chiede dove la funzione è negativa), non ci sono soluzioni. Nessuna soluzione reale.
Sembra quasi magico, vero? O forse solo un po' contorto. La prossima volta che vedrete un delta negativo, non entrate nel panico. Pensate alla parabola che svolazza nel cielo (o nel sottosuolo) senza mai toccare terra. E ricordatevi che a volte, la risposta più semplice è quella che copre più terreno: tutti i numeri reali! Non è affascinante? Io, almeno, trovo una certa poesia in questo.